2024 年に『sin15°、cos15°、tan15°の三角比』を習得する方法 : 辺の比、15°の三角比の導出、加法定理、半角の公式、初等的な計算
三角比は幾何学、物理学、工学など、多くの科学技術分野で基礎的かつ重要な役割を果たしています。特に、15°という角度の三角比は、様々な応用が存在するため、その理解が求められます。本記事では、sin 15°、cos 15°、tan 15°の三角比をマスターするための方法を詳細に解説します。まず、辺の比による基本的な理解から始め、15°の角の三角比の導出方法に進みます。その後、加法定理や半角の公式を用いて、これらの値を効率的に計算するテクニックを紹介します。初等的な計算方法にも焦点を当て、読者がこれらの三角比を自信を持って使用できるようになることを目指します。
以下は『sin15°、cos15°、tan15°の三角比』のための包括的なノート、質問、および回答が記載されたPDFです。数学の勉強時にダウンロードして参照できます
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目次
Toggle三角比15°の導出方法
加法定理 \( \sin(15^\circ) \)
\( \sin(15^\circ) \) の加法定理
三角比の \(15^\circ\) の正弦(サイン)を加法定理を用いて導出します。加法定理によれば、任意の角 \( \alpha \) と \( \beta \) に対して、次のように正弦の値を求めることができます。 \[ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\sin(\beta) \] \( 15^\circ \) は \( 45^\circ \) と \( 30^\circ \) の差として表せるため、次のように \( \sin(15^\circ) \) を求めることができます。 \begin{align*} \sin(15^\circ) &= \sin(45^\circ – 30^\circ) \\ &= \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) – \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6}}{4} – \frac{\sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4} \end{align*} したがって、\( \sin(15^\circ) \) の値は \( \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4} \) と求めることができます。
質問
\( \sin(45^\circ – 30^\circ) \) を加法定理を用いて展開し、\( \sin(15^\circ) \) の表式を導出せよ。
加法定理によれば、
\begin{align*}
\sin(45^\circ – 30^\circ)&= \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) – \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) \\
&= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) – \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) \\
&= \frac{\sqrt{6}}{4} – \frac{\sqrt{2}}{4} \\
&= \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}
\end{align*}
これにより、\( \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4} \) が導出されます。
\( \tan(15^\circ) \) の加法定理
\( \tan(15^\circ) \) を加法定理を使って導出するには、以下の恒等式を使用します。
\begin{equation*}
\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ – 30^\circ)
\end{equation*}
加法定理により、
\begin{equation*}
\tan(A – B) = \frac{\tan A – \tan B}{1 + \tan A \tan B}
\end{equation*}
これに \( A = 45^\circ \) と \( B = 30^\circ \) を代入すると、
\begin{equation*}
\tan(15^\circ) = \frac{\tan 45^\circ – \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ}
\end{equation*}
\(\tan 45^\circ = 1\) と \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) の既知の値を使用して、
\begin{equation*}
\tan(15^\circ) = \frac{1 – \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}
\end{equation*}
これを簡単化すると、
\begin{equation*}
\tan(15^\circ) = \frac{\sqrt{3} – 1}{\sqrt{3} + 1}
\end{equation*}
分母の有理化を行うために、分子と分母に \(\sqrt{3} – 1\) を掛けます。
\begin{equation*}
\tan(15^\circ) = \frac{(\sqrt{3} – 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1)}
\end{equation*}
質問
\( \tan(60^\circ – 45^\circ) \) を \( \tan(15^\circ) \) として表す加法定理を用いた式を導け。
加法定理によると、
\begin{equation*}
\tan(A – B) = \frac{\tan(A) – \tan(B)}{1 + \tan(A)\tan(B)}
\end{equation*}
である。ここで、\( A = 60^\circ \) と \( B = 45^\circ \) を代入すると、
\begin{align*}
\tan(15^\circ) &= \tan(60^\circ – 45^\circ) \\
&= \frac{\tan(60^\circ) – \tan(45^\circ)}{1 + \tan(60^\circ)\tan(45^\circ)} \\
&= \frac{\sqrt{3} – 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1} \\
&= \frac{\sqrt{3} – 1}{1 + \sqrt{3}} \\
&= \frac{(\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} – 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1)} \\
&= \frac{3 – 2\sqrt{3} + 1}{2} \\
&= \frac{4 – 2\sqrt{3}}{2} \\
&= 2 – \sqrt{3}
\end{align*}
この計算により、\( \tan(15^\circ) \) は \( 2 – \sqrt{3} \) と等しいことが示された。
\( \cos(15^\circ) \)の加法定理
\( \cos(15^\circ) \) の加法定理
\( \cos(15^\circ) \) を加法定理を用いて表します。\( 45^\circ \) と \( 30^\circ \) の差として表せば、
\begin{equation*}
\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ – 30^\circ)
\end{equation*}
加法定理により、
\begin{equation*}
\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) + \sin(45^\circ)\sin(30^\circ)
\end{equation*}
ここで、\( \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) および \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)、\( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) を用います。
\begin{equation*}
\cos(15^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}
これを計算すると、
\begin{equation*}
\cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\end{equation*}
以上で \( \cos(15^\circ) \) の値が加法定理から導出されました。
質問
\( \sin(15^\circ) \) の値を二乗し、加法定理を用いて \( 1 – \cos(30^\circ) \) と等しいことを示せ。
\( \sin(15^\circ) \) の値は問題1より、
\begin{align*}
\sin(15^\circ) &= \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}
\end{align*}
これを二乗すると、
\begin{align*}
\sin^2(15^\circ) &= \left(\frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}\right)^2 \\
&= \frac{6 – 2\sqrt{6}\sqrt{2} + 2}{16} \\
&= \frac{8 – 4\sqrt{3}}{16} \\
&= \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{4} \\
&= \frac{2 – \sqrt{3}}{4}
\end{align*}
一方、
\begin{align*}
1 – \cos(30^\circ) &= 1 – \frac{\sqrt{3}}{2} \\
&= \frac{2 – \sqrt{3}}{4}
\end{align*}
したがって、\( \sin^2(15^\circ) \) は \( 1 – \cos(30^\circ) \) と等しいことが示されました。
半角の公式
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\(\cos(30^\circ)\) とその半角
半角の公式からの \( \sin(15^\circ) \) の導出 半角の公式は以下の通りです。 \begin{equation*} \cos(30^\circ) = 1 – 2\sin^2(15^\circ) \end{equation*} ここで、\( \cos(30^\circ) \) の値は \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) であることを利用します。 \begin{equation*} \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 – 2\sin^2(15^\circ) \end{equation*} この式を \( \sin^2(15^\circ) \) について解くと、 \begin{equation*} \sin^2(15^\circ) = \frac{1 – \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} \end{equation*} \begin{equation*} \sin^2(15^\circ) = \frac{2 – \sqrt{3}}{4} \end{equation*} 最後に \( \sin(15^\circ) \) について解くために平方根を取ります。 \begin{equation*} \sin(15^\circ) = \sqrt{\frac{2 – \sqrt{3}}{4}} \end{equation*} \begin{equation*} \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2 – \sqrt{3}}}{2} \end{equation*} これを更に単純化すると、 \begin{equation*} \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4} \end{equation*} 以上で \( \sin(15^\circ) \) の値が半角の公式から導出されました。
ⓘ 注意
ただし、以下の結論に達すると、
\[ \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{2} \]
2 番目の式で分子と分母の両方を 2 で割ると、次のようになります。
\[ \sin(15^\circ) = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \]
単純化すると、次のようになります。
\[ \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4} \]
これは、両方の式が一致していることを示しており、 \( \sin(15^\circ) \) の正しい表現が実際に次であることを確認します。
\[ \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4} \]
\(\sin(30^\circ)\) とその半角
\(\sin(30^\circ)\) の半角にあたる \(\sin(15^\circ)\) を半角の公式を用いて求めよ。
\begin{equation*}
\sin(30^\circ) = 2\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)
\end{equation*}
ここで \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\) であることから、
\begin{equation*}
\frac{1}{2} = 2\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)
\end{equation*}
\begin{equation*}
\sin(15^\circ) = \frac{\frac{1}{2}}{2\cos(15^\circ)} = \frac{1}{4\cos(15^\circ)}
\end{equation*}
この式をさらに単純化することはできませんが、\(\cos(15^\circ)\) の値に応じて数値解を求めることができます。
\(\tan(30^\circ)\) とその半角
半角の公式を用いて \(\tan(30^\circ)\) の半角にあたる \(\tan(15^\circ)\) を求めよ。
\(\tan(30^\circ)\) は \(\frac{\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)}\) によって与えられ、
\begin{equation*}
\tan(30^\circ) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{equation*}
半角の公式で \(\tan(15^\circ)\) を求めるには、
\begin{equation*}
\tan(15^\circ) = \frac{1 – \cos(30^\circ)}{\sin(30^\circ)}
\end{equation*}
を使い、\(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\) を代入して、
\begin{equation*}
\tan(15^\circ) = \frac{1 – \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2 – \sqrt{3}
\end{equation*}
これにより、\(\tan(15^\circ) = 2 – \sqrt{3}\) が導出される。
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